RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rachunek prawdopodobieństwa, albo inaczej probabilistyka, to dział w matematyce, który zajmuje się modelowaniem zjawisk przypadkowych. Chodzi o takie zjawiska, czy zdarzenia, nazywane losowymi, których wyniku zakończenia nie da się w sposób jednoznaczny przedstawić. Będziemy się więc zajmować rzutami kostką, monetą, przewidywać występowanie konkretnych zdarzeń. 

Pojęcia stosowane w rachunku prawdopodobieństwa:

  • Doświadczenie losowe– czynność, którą wykonujemy, np.: rzut kostką, wybór dnia tygodnia.
  • Zdarzenie elementarne– zdarzenie (tylko jedno!) jakie może wydarzyć się w doświadczeniu losowym, np.: wypadło 5 oczek, wybrano środę.
  • Zdarzenie losowe -zbiór jednego lub kilku zdarzeń elementarnych, np.: wypadła parzysta liczba oczek (24, lub 6), wybrano dzień powszedni.
  • Moc zbioru -liczba elementów danego zbioru, np.: |{2,4,6}|=3|{dni powszednie}|=5.

Stosowane oznaczenia:

  • Ω – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, np.: dla rzutu kostką Ω={1,2,3,4,5,6}.
  • A – zdarzenie losowe (podzbiór Ω), np.: jeżeli A to zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek, to: A={2,4,6}.

Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Zdarzenie losowe jest to wynik doświadczenia losowego.

Przykład: W poniższej tabeli zawarto przykłady doświadczeń oraz zdarzeń losowych.

Doświadczenie losowe Zdarzenie losowe (przykłady)
rzut kostką do gry parzysta liczba oczek, wyrzucono 3 oczka
rzut monetą orzeł, reszka
urodzenie dziecka płeć męska, płeć żeńska
losowanie lotto trafienie 3 z 49 liczb
pomiar pewnej wielkości fizycznej pomiar mieści się w przedziale liczb od 1 do 5
losowanie kul z urny spośród kul czarnych i białych wylosowanie kuli czarnej
wyjęcie karty z talii karo, as pik

Własności prawdopodobieństwa:

  • Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A jest zawsze liczbą z przedziału 0;1.
    0P(A)1
  • Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1.
    P(Ω)=1
  • Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0.
    P()=0
  • Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
    P(A)=1P(A)
Przykład 1.
Jaka jest szansa, że dzisiaj jest niedziela?
Rozwiązanie:
Mamy 7 możliwości (bo jest 7 dni tygodnia).

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dzisiaj jest niedziela, wynosi: 1/7.
Przykład 2.
Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie liczba oczek mniejsza od 5.
Rozwiązanie:
Zdarzeniem losowym w tym zadaniu jest rzut kostką.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
Ω -to zbiór wszystkich możliwych wyników. Zatem Ω={1,2,3,4,5,6}.
A -to zbiór tych wyników, w których wypadła liczba oczek mniejsza od 5. Zatem A={1,2,3,4}.

Obliczamy moc zbioru A oraz zbioru Ω:

|Ω|=6 (bo tyle jest wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, czyli wyników rzutu kostką)
|A|=4 (bo w skład zbioru A wchodzą 4 zdarzenia elementarne)

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest następujące:

P(A)=|A|/|Ω|= 4/6= 2/3
Tu warto wejść kliknij
TEST 1 kliknij
TEST 2 kliknij